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    16．如图，开口向下的抛物线y=a（x-2）2+k，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，顶点为P，过顶点P，作x轴，y轴的垂线，垂足分别为M，N．
    （1）直接写出，当PMON为正方形时，k=2，当S△PCM=3时，k=3．
    （2）若a=-1，△PCM为等腰三角形，求k的值．
    （3）若△PCM中，∠CPM=45°，tan∠CMP=$\frac{4}{5}$，求抛物线解析式．
    （4）在（3）的情况下，设PC交x轴于E，若点D为线段PE上一动点（不与P点重合），BD交△PMD的外接圆于点Q．求PQ的最小值．

    分析 （1）先根据抛物线的对称轴得出OM的长，再由四边形PMON为正方形得出k的值；求出抛物线的顶点坐标，再由S△PCM=3即可得出结论；
    （2）把a=-1代入抛物线的解析式，再根据CP=CM，PC=PM=k及MC=MP=k三种情况进行讨论；
    （3）根据PM∥y轴可得出∠OCM=∠PMC，故可得出OC的长，再由∠CPM=45°可知△PCN为等腰三角形，故CN=PN=2，PM=ON=$\frac{9}{2}$，P（2，$\frac{9}{2}$），再把P，C两点的坐标代入求值即可；
    （4）连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，故∠MQB=135°．以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MEB，则点Q在以E为圆心，ME为半径的圆上，连接PE，交⊙E于点Q，此时PQ最小，再由勾股定理即可得出结论．

    解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=a（x-2）2+k，
    ∴OM=2．
    ∵PMON为正方形，
    ∴k=2；
    ∵抛物线的顶点坐标为（2，k），S△PCM=3，
    ∴$\frac{1}{2}$×2k=3，解得k=3．
    故答案为：2，3；

    （2）a=-1时，y=（x-2）2+k=-x2+4x-4+k，
    ∴C（0，-4+k）．
    由题意得，P（2，k），M（2，0），
    当CP=CM时，-4+k=$\frac{1}{2}$k，解得k=8；
    当PC=PM=k时，
    在Et△PCN中，
    ∵PN=2，CN=k-（-4+k）=4，
    ∴PC=k=$\sqrt{{PN}^{2}+{CN}^{2}}$=2$\sqrt{5}$；
    当MC=MP=k时，
    在Rt△OMC中，
    ∵OM=2，OC=-4+k，
    ∴OC2+OM2=CM2，
    ∴（-4+k）2+42=k2，解得k=$\frac{5}{2}$（舍去）．
    综上所述，△PCM为等腰三角形时，k=8或2$\sqrt{5}$．

    （3）∵PM∥y轴，
    ∴∠OCM=∠PMC，
    ∴OC=$\frac{OM}{tan∠CMP}$=$\frac{2}{\frac{4}{5}}$=$\frac{5}{2}$．
    ∵∠CPM=45°，
    ∴△PCN为等腰三角形，
    ∴CN=PN=2，
    ∴PM=ON=2+$\frac{5}{2}$=$\frac{9}{2}$，
    ∴P（2，$\frac{9}{2}$），
    ∴y=a（x-2）2+$\frac{9}{2}$．
    把C（0，$\frac{5}{2}$）代入得，4a+$\frac{9}{2}$=$\frac{5}{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$，
    ∴y=-$\frac{1}{2}$（x-2）2+$\frac{9}{2}$；

    （4）如图，连接MQ，则∠MQD=∠MPC=45°，
    ∴∠MQB=135°．
    以BM为斜边向x轴下方作等腰直角三角形MEB，则点Q在以E为圆心，ME为半径的圆上，连接PE，交⊙E于点Q，此时PQ最小．
    ∵B（5，0），M（2，0），
    ∴E（$\frac{7}{2}$，-$\frac{3}{2}$），
    ∴ME=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，PE=$\sqrt{（\frac{3}{2}+\frac{9}{2}）^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$，
    ∴PQmin=$\frac{3\sqrt{17}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

    点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到勾股定理、特殊角的三角函数值，等腰三角形的判定与性质等知识，难度较大．

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