Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，，，E是AB上一点，连接CE，现将向上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处．

（1）当点P落在CD上时，_____；当点P在矩形内部时，BE的取值范围是_____．

（2）当点E与点A重合时：①画出翻折后的图形（尺规作图，保留作图痕迹）；②连接PD，求证：；

（3）如图，当点Р在矩形ABCD的对角线上时，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）12，0＜BE＜12；（2）①见解析，②见解析；（3）6或9．

【解析】

（1）由折叠的性质得到推出△BCE是等腰直角三角形，即可得到结论；
（2）①由题意画出图形即可；
②根据全等三角形的性质得到∠PAC=∠DCA，设AP与CD相交于O，于是得到OA=OC，求得∠OAC=∠OPD，根据平行线的判定定理得到结论；
（3）分两种情形，当点P在对角线AC或对角线BD上时，两种情形分别求解即可．

解：（1）当点P在CD上时，如图1，

∵将∠B向右上方翻折，折痕为CE，使点B落在点P处，
∴∠BCE=∠ECP=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴BE=BC=AD=12，
当点P在矩形内部时，BE的取值范围是0＜BE＜12；
故答案为：12，0＜BE＜12；
（2）①补全图形如图2所示，

②当点E与点A重合时，如图3，连接PD，设CD交PA于点O．

由折叠得，AB=AP=CD，
在△ADC与△CPA中， ，
∴△ADC≌△CPA，
∴∠PAC=∠DCA，
设AP与CD相交于O，则OA=OC，
∴OD=OP，∠ODP=∠OPD，
∵∠AOC=∠DOP，
∴∠OAC=∠OPD
∴PD∥AC；
（3）如图4中，当点P落在对角线AC上时，

由折叠得，BC=PC=12，AC= =20，
∴PA=8，设BE=PE=x，
在Rt△APE中，（16-x）2=x2+82，
解得x=6．
∴BE=6．
如图5中，当点P落在对角线BD上时，设BD交CE于点M．

由折叠得，BE=PE，∠BEC=∠PEC，

∵EM=EM，

∴△MBE∽△MEP，

∴∠EMB=∠EMP，

∵∠EMB+∠EMP=180°，

∴EC⊥BD，

∴∠BCE=∠ABD，

∵∠A=∠ABC=90°，

∴△CBE∽△BAD，
∴ ，
∴ ，
∴BE=9，
综上所述，满足条件的BE的值为6或9．