Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过Rt△ABC的三个顶点，其中∠ACB=90°，点A坐标为（－2，0），点C坐标为（0，4）.

（1）求该抛物线的解析式.

（2）如果将线段OB绕原点O逆时针旋转60°到0D位置，那么点B的对应点D是否会落在该抛物线的对称轴上？请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）点D不会落在该抛物线的对称轴上.理由见解析.

【解析】试题分析：（1）首先证明△ACO∽△CBO，根据相似三角形的性质可得，然后可得B点坐标，再利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）根据抛物线解析式计算出对称轴，再根据等边三角形的判定可得△BOD是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得D点横坐标，进而可得答案．

试题解析：（1）由题意得：CO⊥AB，OA=2,OC=4

∵∠ACB=90°, CO⊥AB

∴∠ACO+∠BCO=90°,∠ACO+∠CAO=90°，∠AOC=∠COB=90°

∴∠BCO=∠CAO

∴△AOC∽△COB

∴

∴ 解得 OB=8

∴点B坐标为（8，0）分

∵抛物线经过点A、B、C

∴

解得

∴该抛物线的解析式为.

（2）点D不会落在该抛物线的对称轴上.

理由：作DM⊥x轴于点M，则在Rt△ODM中，OD=OB=8,∠DOM=60°

∴∠ODM=30°

∴OM=.

∴点D的横坐标为4

又由（1）可知，该抛物线的对称轴是直线x=

∴旋转后点B的对应点D不会落在该抛物线的对称轴上.