Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，△ABO的边BO在x轴上，点A坐标（5,12），B（17,0），点C为BO边上一点，且AC=AO,点P为AB边上一点，且OP⊥AC.

（1）求出∠B的度数.

（2）试说明OA=OP.

（3）求点P的坐标及△PBO的面积.

Answer 1

【答案】（1）45°（2）详见解析（3）P（12,5），

【解析】

(1) 过点A作AD⊥OB与点D，根据点A和点B坐标易知OD、AD、BD的长度，进而得到AD=BD，进而得到∠B的度数；

(2) 延长BA交y轴于点E，由已知可得∠AOC=∠ACO,由等角的余角相等可得∠EOA=∠POB,结合∠OEB=∠ABO=45°,由三角形外角定理可得∠OAP=∠OPA,进而可得OA=OP；

(3) 分别过点A作AM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，易知,进而可得AM=PN,OM=ON,根据点A和点B的坐标可得OM和AM的长度，进而可得ON和PN的长度，从而得到P点坐标和的面积.

(1)如图，过点A作AD⊥OB与点D，

∵A（5,12），B（17,0），

∴OD=5,OB=17,AD=12,

∴BD=OB-OD=17-5=12,

∴AD=BD,

又∵AD⊥OB，

∴∠OBA=45°；

(2)如图，延长BA交y轴于点E，

∵AO=AC,

∴∠AOC=∠ACO,

∵EO⊥OB,OP⊥AC,

∴∠AOC+∠EOA=90°,∠ACO+∠POB=90°,

∴∠EOA=∠POB,

∵EO⊥OB,∠ABO=45°,

∴∠OEB=∠ABO=45°,

∵∠OAP=∠OEA+∠EOA,∠OPA=∠POB+∠PBO,

∴∠OAP=∠OPA,

∴OA=OP.

(3)如图所示，分别过点A作AM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥x轴于点N，

由(2)可知，OA=OP,∠MOA=∠PON,

又∵∠AMO=∠PNO=90°,

∴,

∴AM=PN,OM=ON,

∵点A坐标（5,12），点B坐标（17,0），

∴OM=12,AM=5,OB=17,

∴ON=OM=12,PN=AM=5,

∴点P坐标为（12,5），

= = = .