Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，函数y=（x＞0）的图象G经过点A（4，1），直线l：y=+b与图象G交于点B，与y轴交于点C．

（1）求k的值；

（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为w．

①当b=﹣1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有4个整点，结合函数图象，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）4；（2）①区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；②区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．

【解析】

（1）用待定系数法即可得解；

（2）①根据题意得到直线解析式，然后求得交点B的坐标，画出图象即可得解；

②如图2，直线l在OA的下方时，当直线l：y=x+b过（1，﹣1）时，即b=﹣，则区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1；如图3，直线l在OA的上方时，当直线l：y=x +b过（1，2）时，即b=，当直线l：y=x +b过（1，3）时，即b=，则区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1.

解：（1）把A（4，1）代入y=得，k=4×1=4；

（2）①当b=﹣1时，直线解析式为y=x﹣1，

解方程=x﹣1，

得x1=2﹣2（舍去），x2=2+2，

则B（2+2，），

而C（0，﹣1），

如图1所示，区域W内的整点有（1，0），（2，0），（3，0），有3个；

②如图2，直线l在OA的下方时，

当直线l：y=x+b过（1，﹣1）时，即b=﹣，

且经过（5，0），

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1；

如图3，直线l在OA的上方时，

∵点（2，2）在函数y=（x＞0）的图象G，

当直线l：y=x +b过（1，2）时，即b=，

当直线l：y=x +b过（1，3）时，即b=，

∴区域W内恰有4个整点，b的取值范围是＜b≤．

综上所述，区域W内恰有4个整点，b的取值范围是﹣≤b＜﹣1或＜b≤．