Question

【题目】已知在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，点D从点B出发沿射线BC方向移动．在AD右侧以AD为腰作等腰直角△ADE，∠DAE＝90°．连接CE．

（1）求证：△ACE≌△ABD；

（2）点D在移动过程中，请猜想CE，CD，DE之间的数量关系，并说明理由；

（3）若AC＝，当CD＝1时，结合图形，请直接写出DE的长 ．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；(3)或

【解析】

（1）由等腰直角三角形的性质可得∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，然后根据同角的余角相等可得∠BAD＝∠CAE，进而利用SAS可证明△ABD≌△ACE；

（2）当点D在线段BC上时，由三角形全等的性质可得∠ABD＝∠ACE＝45°，易得∠ECD＝90°，然后根据勾股定理可得结论，同理可得点D在线段BC的延长线上时CE，CD，DE之间的数量关系；

（3）当点D在线段BC上时，首先求出BC，然后可得BD的长，根据全等三角形的性质可得CE的长，利用勾股定理可得答案，当点D在线段BC的延长线上时，同理可求DE.

解：（1）∵△ABC，△ADE是等腰直角三角形，

∴∠BAC＝∠DAE＝90°，BA＝CA，AD＝AE，

∴∠BAD＋∠DAC ＝∠CAE＋∠DAC，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△ABD与△ACE中，BA＝CA，∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，

∴△ABD≌△ACE（SAS）；

(2)当点D在线段BC上时，

∵△ABD≌△ACE，

∴∠ABD＝∠ACE＝45°，

∴∠ECD＝∠ACE＋∠ACB＝90°，

∴△ECD是直角三角形，

∴CE2＋CD2＝DE2，

当点D在线段BC的延长线上时，如图2，同理可得：CE2＋CD2＝DE2；

（3）当点D在线段BC上时，

∵△ABD≌△ACE，AC＝，CD＝1，

∴BC=AC=2，

∴BD=BC-CD=1，

∴CE=1，

∴，

当点D在线段BC的延长线上时，如图2，同理可得CE=BD= BC+CD=3，

∴，

综上所述，DE的长为或.