Question

如图，已知等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=

k

x

（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D，若B点的横坐标为2．
（1）求k的值；
（2）等边△AFE的周长．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,反比例函数图象上点的坐标特征

专题：

分析：（1）过点C作CM⊥OD于点M，根据等边三角形的性质求出OM、CM的长度，从而得到点C的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式列式计算即可得解；
（2）过点D作DN⊥AF于点N，设AN=m，根据等边三角形的性质表示出DN的长度，然后表示出点D的坐标，再把点D的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到m的值，从而得解．

解答：解：（1）如图，

过点C作CM⊥x轴于点M，过点B作BP⊥x于点P，
∴CM∥BP，
∵B点的横坐标为2，点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴0M=1，OC=2，∠AOB=60°，
∴CM=

3

，
∴点C的坐标是（1，

3

），
由

3

=

K

1

，得：k=

3

；

（2）连接OD，作DN⊥x轴于点N，
设AN=m，
∴0N=4+m，DN=

3

m，
∴D点坐标为（4+m，

3

m），
∴（4+m）•

3

m=

3

，
解得m₁=

5

-2，m₂=-

5

-2（舍去）；
∴AN=

5

-2，AD=2

5

-4；
∴AE=4

5

-8；
∴等边△AFE的周长为12

5

-24．

点评：本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，难度不大，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键．