Question

规律是数学研究的重要内容之一．初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面．请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：
（1）在围棋盒中有x颗黑色棋子和y颗白色棋子，从盒中随机取出一个棋子，如果它是黑色棋子的概率是

3

8

，写出y用x表示的式子；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，AB=c，Rt△ABC的内切圆半径为r．写出r用a、b、c表示的式子；
（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）．下面对函数y=x²的某种数值变化规律进行初步研究：

xi	0	1	2	3	4	5	…
yi	0	1	4	9	16	25	…
yi+1-yi	1	3	5	7	9	11	…

由表看出，当x的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加1，3，5…请回答：
①当x的取值从0开始每增加

1

2

个单位时，y的值变化规律是什么？
②当x的取值从0开始每增加

1

n

个单位时，y的值变化规律是什么？

Answer 1

考点：二次函数综合题,三角形的内切圆与内心,概率公式

专题：

分析：（1）由概率得出等式关系，进行整理即可得；
（2）设AB、BC、AC与⊙O的切点分别为D、E、F；易证得四边形OECF是正方形；那么根据切线长定理可得：CE=CF=

1

2

（AC+BC-AB），由此可求出r的长；
（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化而变化的规律．

解答：解：（1）黑色棋子的概率=

x

x+y

=

3

8

，
整理得y=

5

3

x；

（2）如右图；
四边形OECF中，OE=OF，∠OEC=∠OFC=∠C=90°；
∴四边形OECF是正方形；
由切线长定理，得：AD=AF，BD=BE，CE=CF；
∴CE=CF=r=

1

2

（a+b-c）；

（3）①当x=0时，y=0，
当x=

1

2

时，y=

1

4

，
当x=1时，y=1，
当x=

3

2

时，y=

9

4

．
故当x的取值从0开始每增加

1

2

个单位时，y的值依次增加

1

4

、

3

4

、

5

4

…
②当x=0时，y=0，
当x=

1

n

时，y=

1

n2

，
当x=

2

n

时，y=

4

n2

，
当x=

3

n

时，y=

9

n2

，
故当x的取值从0开始每增加

1

n

个单位时，y的值依次增加

1

n2

、

3

n2

、

5

n2

…

点评：此题主要考查概率公式，直角三角形内切圆的性质及半径的求法，二次函数的性质及实数的性质，解题的关键是发现规律并利用规律解题．