Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，D为CA上一点，∠DBC=30°，DA=3，AB=

19

，试求cosA与tanA的值．

Answer 1

考点：解直角三角形,勾股定理

专题：计算题

分析：在直角三角形BCD中，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半得到BD=2CD，设CD=x，则有BD=2x，利用勾股定理表示出BC，由CD+AD表示出AC，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出BC与AC的长，即可求出tanA与cosA的值．

解答：解：在Rt△BCD中，∠C=90°，∠DBC=30°，
设CD=x，则有BD=2x，
根据勾股定理得：BC=

3

x，
∵DA=3，AB=

19

，
∴在Rt△ABC中，BC=

3

x，AC=CD+AD=x+3，
根据勾股定理得：BC²+AC²=AB²，即3x²+（x+3）²=19，
整理得：2x²+3x-5=0，即（2x+5）（x-1）=0，
解得：x=1（负值舍去），
∴BC=

3

，AC=4，
则cosA=

AC

AB

=

4

19

=

4 19

19

，tanA=

BC

AC

=

3

4

．

点评：此题属于解直角三角形题型，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，以及含30度直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理及性质是解本题的关键．