Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的AB边在x轴上，AB=3，AD=2，经过点C的直线y=x-2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：①点D的坐标；
②经过点D，且与直线FC平行的直线的函数表达式；
（2）直线y=x-2上是否存在点P，使得△PDC为等腰直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M，使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）①设点C的坐标为（m，2），根据一次函数图象上点的坐标特征，代入直线解析式求解即可得到m的值，再根据矩形的长求出OA，然后写出点D的坐标即可；
②根据互相平行的直线的解析式的k值相等设出直线解析式为y=x+b，然后把点D的坐标代入函数解析式求解即可；
（2）根据直线解析式求出△EBC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CEB=∠ECB=45°，再根据平行线的性质可得∠DCE=∠CEB=45°，然后判断出△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，再分①∠D=90°时，根据点P的横坐标与点D的横坐标相等，利用直线解析式求解即可；②∠DPC=90°时，作DC的垂直平分线与直线y=x-2的交点即为点P₂，求出点P的横坐标，再代入直线解析式计算即可得解；
（3）根据平行四边形平行且对边相等，分DE、CE是对角线时，点M在x轴上，求出OM的长度，然后写出点M的坐标，CD是对角线时，求出平行四边形的中心的坐标，再求出点E关于中心的对称点，即为点M．

解答：解：（1）①设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y=x-2上，
∴2=m-2，
∴m=4，
即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴点D的坐标为（1，2）；
②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，
将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，
∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；

（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45°，
又∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°，
∴△PDC只能是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图，①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x-2交于点P₁，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P₁的横坐标为1，
把x=1代入y=x-2得，y=-1，
∴点P₁（1，-1）；
②当∠DPC=90°时，作DC的垂直平分线与直线y=x-2的交点即为点P₂，
所以，点P₂的横坐标为

1+4

2

=

5

2

，
把x=

5

2

代入y=x-2得，y=

1

2

，
所以，点P₂（

5

2

，

1

2

），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，-1）或（

5

2

，

1

2

）；

（3）当y=0时，x-2=0，
解得x=2，
∴OE=2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
∴若DE是对角线，则EM=CD=3，
∴OM=EM-OE=3-2=1，
此时，点M的坐标为（-1，0），
若CE是对角线，则EM=CD=3，
OM=OE+EM=2+3=5，
此时，点M的坐标为（5，0），
若CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（

5

2

，2），
设点M的坐标为（x，y），
则

x+2

2

=

5

2

，

y+0

2

=2，
解得x=3，y=4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（-1，0），（5，0）（3，4）．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，平行四边形的性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）（3）分情况讨论．