Question

如图，正方形ABCD中，E、F均为中点，则下列结论中：①AF⊥DE； ②AD=BP； ③PE+PF=PC； ④PE+PF=PC。其中正确的是（　　）

A．①④ B．①②④ C．①③ D．①②③

 

Answer 1

D．

【解析】

试题分析：如题图，

∵正方形ABCD，E，F均为中点，∴AD=DC=BC，∠ADC=∠DCB，EC=DF=DC.

∵在△ADF和△DCE中，AD＝DC，∠ADF＝∠DCE，DF＝CE，∴△ADF≌△DCE（SAS）.∴∠AFD=∠DEC.

∵∠DEC+∠CDE=90°，∴∠AFD+∠CDE=90°=∠DPF

∴AF⊥DE.∴①正确.

如图1，过B作BG∥DE交AD于G，交AP于M，

∵AF⊥DE，BG∥DE，E是BC中点，∴BG⊥AP，G是AD的中点.∴BG是AP的垂直平分线.

∴△ABP是等腰三角形.∴BP=AB=AD，∴②正确.

如图2，延长DE至N，使得EN=PF，连接CN，

∵∠AFD=∠DEC ，∴∠CEN=∠CFP.

又∵E，F分别是BC，DC的中点，∴CE=CF，

∵在△CEN和△CFP中，CE＝CF，∠CEN＝∠CFP，EN＝PF，∴△CEN≌△CFP（SAS）.∴CN=CP，∠ECN=∠PCF.

∵∠PCF+∠BCP=90°，∴∠ECN+∠BCP=∠NCP=90°.

∴△NCP是等腰直角三角形.∴PN=PE+NE=PE+PF=PC.∴③正确，④错误.

∴①②③正确．

故选D．

考点：1.正方形的性质；2.全等三角形的性质和判定；3.线段垂直平分线性质；4.等腰三角形的性质和判定；5.垂直定义.