Question

16．如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠C=45°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，根据等腰三角形的性质，证得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质，即可证得OD=OE，即可证明AC是切线；
（2）根据阴影部分的面积=△ABC的面积-△OBD的面积-△OCE的面积-扇形DOE的面积，计算即可．

解答 （1）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连结OD，OA，
∵AB与⊙O相切于点D，
∴AB⊥OD，
∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，
∴AO是∠BAC的平分线，
∴OE=OD，即OE是⊙O的半径，
∵AC经过⊙O的半径OE的外端点且垂直于OE，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OCE中，∠C=45°，OE=3，
∴OC=$\frac{3}{sin45°}=3\sqrt{2}$，
∵△ABC是等腰三角形，∠C=45°，
∴BC=2OC=$6\sqrt{2}$，OA=OC=$3\sqrt{2}$，
∵OE⊥AC，∠C=45°，
∴∠EOC=45°，
同理，∠DOB=45°，
∴∠DOE=90°，
∴S_阴影=S_△ABC-S_△BDO-S_△ECO-S_扇形DOE
=$\frac{1}{2}×6\sqrt{2}×3\sqrt{2}-\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×3×3-\frac{90π×9}{360}$
=$9-\frac{9}{4}π$．

点评 本题主要考查了切线的性质和判断、等腰三角形的性质、扇形的面积公式的综合运用．熟练掌握证明切线的方法是解决此类问题的关键，证明切线的方法：连半径，证垂直；作垂直，正半径．