Question

1．二次函数y=ax²+bx+6的图象与x轴的交点为A，B，与y轴交于点C，直线y=2x+2与y轴交于点M，与这个二次函数的图象交于点A、D，且点D的横坐标为3．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）若点P（x，y）在MD上运动，设四边形OMPB的面积为S，求S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点D在直线y=2x+2上，且点D的横坐标为3，求出点D的坐标；根据点A在x轴上，且在直线y=2x+2上，即可求出点A的坐标；将点A、点D的横纵坐标代入二次函数解析式即可；
（2）画出图形，根据题意，求出点M的坐标，用分割法求四边形OMPB的面积即可．

解答 解：（1）∵直线y=2x+2与二次函数的图象交于点A、D，且点D的横坐标为3，
∴当x=3时，y=2×3+2=8，即点D（3，8），
∵点A是二次函数与x轴的交点，
∴点A在x轴上，且在直线y=2x+2上，
∴令y=0，得：2x+2=0，解得：x=-1，即点A（-1，0），
∵点A、B在抛物线y=ax²+bx+6上，
∴可得：$\left\{\begin{array}{l}{9a+3b+6=8}\\{a-b+6=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{14}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：$y=-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{14}{3}x+6$；
（2）如图所示，
当y=0时，$-\frac{4}{3}{x}^{2}+\frac{14}{3}x+6=0$，解得：x₁=-1，${x}_{2}=\frac{9}{2}$，
∴点B的坐标为（$\frac{9}{2}$，0），
∵直线y=2x+2与y轴交于点M，
∴当x=0时，y=2，即点M（0，2），
过点P作PQ⊥x轴于点Q，则点Q（x，0），
∴四边形OMPB的面积S=$\frac{1}{2}$（2+2x+2）x+$\frac{1}{2}$（$\frac{9}{2}$-x）（x+1）=$\frac{3}{2}{x}^{2}+\frac{15}{4}x+\frac{9}{4}$，
∵点P在MD上，
∴0＜x＜3．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点、用分割法求四边形的面积．解决第（1）小题的关键是求出抛物线上的两个点的坐标，解决第（2）小题的关键是画出图形，用分割法求四边形的面积．