Question

9．已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x-1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m=-3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与直线l的另一个交点为Q，求△BPQ的面积；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y=（x-m）²+m-1，点P（m，m-1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）先把m=-3代入抛物线y=x²-2mx+m²+m-1求出m的值即可得出抛物线的解析式，联立抛物线与直线y=x-1即可得出P、Q的坐标，设直线l与x轴交于点D，求出D点坐标，再由S_△BPQ=S_△BDP-S_△BDQ即可得出结论；
（3）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1\\ y=m-1\end{array}\right.$得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ²=2，OQ²=2m²+2m+1，OP²=2m²-2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m²+2m+1=2；当PQ=OP时，2m²-2m+1=2；当OP=OQ时，2m²+2m+1=2m²-2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．

解答 （1）证明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴点P的坐标为（m，m-1），
∵当x=m时，y=x-1=m-1，
∴点P在直线l上；

（2）解：∵m=-3，
∴抛物线y=x²-2mx+m²+m-1的解析式为y=x²+6x+5，
∴$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}+6x+5\\ y=x-1\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-3\\ y=-4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=-2\\ y=-3\end{array}\right.$，
∴P（-3，-4），Q（-2，-3）．
当x²+6x+5=0时，x₁=-5，x₂=-1，
∴A（-5，0），B（-1，0）．
设直线y=x-1与x轴的交点为D，则D（1，0），
∴S_△BPQ=S_△BDP-S_△BDQ=$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×2×3=4-3=1；

（3）解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1\\ y=m-1\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=m\\ y=m-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=m+1\\ y=m\end{array}\right.$，则P（m，m-1），Q（m+1，m），
∴PQ²=（m+1-m）²+（m-m+1）²=2，OQ²=（m+1）²+m²=2m²+2m+1，OP²=m²+（m-1）²=2m²-2m+1，
当PQ=OQ时，2m²+2m+1=2，解得m₁=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
当PQ=OP时，2m²-2m+1=2，解得m₁=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
当OP=OQ时，2m²+2m+1=2m²-2m+1，解得m=0，
综上所述，m的值为0，$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．