Question

17．如图，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，E是AB上的一个动点，连接PE，过点P作PE的垂线，交BC于点F，连接EF，设EF的中点为G，当点E从点B运动到点A时，点G移动的路径的长是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设点E的坐标为（0，m），先求得EP的解析式，从而可得到PF的解析式（含字母m的式子），从而可解得点F的坐标，由线段中点坐标公式可求得点G的坐标，从而可得到点G的轨迹是一条线段，然后求得线段端点的坐标，最后利用两点间的距离公式求解即可．

解答 解：设点E的坐标为（0，m），直线EP的解析式为y=kx+m．
将x=1，y=2，得：k+m=2，
解得：k=2-m．
∵PE⊥PF，
∴直线EP与直线PF的一次项系数的乘积为-1．
设直线PF的解析式为：y₁-2=$\frac{1}{m-2}$（x-1）．
将y₁=0代入得：．x=5-2m．
∴点F的坐标为（5-2m，0）．
由中点坐标公式可知点G的坐标为（$\frac{5-2m}{2}$，$\frac{m}{2}$），即x=$\frac{5-2m}{2}$，y=$\frac{m}{2}$．
∴y=$-\frac{1}{2}x+\frac{5}{4}$．
∴点G的轨迹是一条线段．
当m=0时，点G的坐标为（$\frac{5}{2}$，0）；当m=2时，点G的坐标为（$\frac{1}{2}$，1）．
由两点之间的距离公式得；点G移动的路径的长=$\sqrt{（\frac{5}{2}-\frac{1}{2}）^{2}+（1-0）^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查的是点的轨迹问题，求得点G运动路线的解析式，判断出点G运动的轨迹是一条线段是解题的关键．