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【题目】(本小题满分10) 已知双曲线y=x0),直线l1y=kx)(k0)过定点F且与双曲线交于AB两点,设Ax1y1),Bx2y2)(x1x2),直线l2y=x+

1)若k =﹣1,求OAB的面积S

2)若AB= ,求k的值;

3)设N02),P在双曲线上,M在直线l2上且PMx轴,问在第二象限内是否存在一点Q,使得四边形QMPN是周长最小的平行四边形,若存在,请求出Q点的坐标。

【答案】(1);(2)k=-2或k=-;(3)Q(— ,2 ).

【解析】试题分析:(1)、首先求出当k=1时直线与反比例函数的交点,然后根据△OAB的面积=△AOC的面积减去△BOC的面积得出答案;(2)、首先联立一次函数与反比例函数得出方程,从而求出两根之和和两根之积,然后根据两点之间的距离得出关于k的一元二次方程,从而求出k的值;(3)、设Px),则M(﹣+),从而得出PM和PF的长度,根据PM+PN=PF+PNNF=2,从而根据(1)得出最小值.

试题解析:(1)当k=1时,l1y=﹣x+2

联立得,,化简得x2﹣2x+1=0,

解得:x1=﹣1,x2=+1,

设直线l1y轴交于点C,则C(0,2).

SOAB=SAOCSBOC=2x2x1)=2

(2)根据题意得: 整理得:kx2+(1﹣kx﹣1=0(k<0),

∵△=[(1﹣k)]2﹣4×k×(﹣1)=2(1+k2)>0,

x1x2 是方程的两根,

①,

AB==

=

=

将①代入得,AB==k<0),

=

整理得:2k2+5k+2=0,

解得:k=-2,或 k=﹣

(3)F),

Px),则M(﹣+),

PM=x+==

PF==

PM=PF

PM+PN=PF+PNNF=2,

当点PNF上时等号成立,此时NF的方程为y=﹣x+2

由(1)知P﹣1,+1),

∴当P﹣1,+1)时,PM+PN最小,此时四边形QMPN是周长最小的平行四

边形,所以Q(— ,2 )。

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