Question

2．以矩形OABC的OC边所在直线为x轴，OA边所在直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示，已知OA=8，OC=10，将矩形OABC沿直线AD折叠，点B恰好落在x轴上的点E处．
（1）求点E的坐标；
（2）求直线AD的解析式；
（3）x轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求OE的长可得E的坐标；
（2）先根据折叠设未知数，利用勾股定理列方程可求CD的长，得D的坐标，利用待定系数法求直线AD的解析式；
（3）根据轴对称的最短路径，作A关于点O的对称点A'（0，-8），连接A'D交x轴于P，此时△PAD的周长最小，利用待定系数法求直线A‘D的解析式，令y=0代入可得P的坐标．

解答 解：（1）由折叠得：AB=AE=10，
∵∠AOC=90°，OA=8，
∴OE=6，
∵E（6，0）；
（2）EC=OC-OE=10-6=4，
设DB=x，则DE=BD=x，DC=8-x，
Rt△EDC中，由勾股定理得：DE²=DC²+EC²，
∴x²=（8-x）²+4²，
x=5，
∴DC=8-5=3，
∵D（10，3），
设直线AD的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+8；
（3）存在，作A关于点O的对称点A'（0，-8），
连接A'D交x轴于P，此时△PAD的周长最小，
设直线A'D的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10k+b=3}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{11}{10}}\\{b=-8}\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为：y=$\frac{11}{10}$x-8；
当y=0时，x=$\frac{80}{11}$，
∴P（$\frac{80}{11}$，0）．

点评 本题是四边形的综合题，考查了矩形的性质、图形与坐标特点、勾股定理、折叠的性质、利用待定系数法求直线的解析式；难度适中，熟练掌握折叠的性质是关键．