Question

17．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，且AB是⊙O的直径，AC=2BC，过点C作AB的垂线l交于AB于点E，交⊙O于点D，设点P是$\widehat{AB}$上异于A，C的一个动点，AP的连线交l于点F，连接PC与PD；
（1）若∠FPC=∠B，求证：△PAC∽△CAF；
（2）若AB=5，点P为$\widehat{AB}$的中点，求PD的长．

Answer 1

分析 （1）根据AB⊥CD，AB是⊙O的直径，得到$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，∠ACD=∠B，由∠FPC=∠B，得到∠ACD=∠FPC，结论可得；
（2）连接OP，由点P为$\widehat{AB}$的中点，得到OP⊥AB，∠OPG=∠PDC，根据AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，由于AC=2BC，于是得到tan∠CAB=tan∠DCB=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，得到$\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，求得AE=4BE，通过△OPG∽△EDG，得到$\frac{OG}{GE}=\frac{OP}{ED}$，然后根据勾股定理即可得到结果．

解答 （1）证明：∵AB⊥CD，AB是⊙O的直径，
∴$\widehat{AD}=\widehat{AC}$，
∴∠ACD=∠B，
∵∠FPC=∠B，
∴∠ACD=∠FPC，
∴∠APC=∠ACF，
∵∠FAC=∠CAF，
∴△PAC∽△CAF；

（2）连接OP，则OA=OB=OP=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$，
∵点P为$\widehat{AB}$的中点，
∴OP⊥AB，∠OPG=∠PDC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2BC，
∴tan∠CAB=tan∠DCB=$\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{CE}{AE}=\frac{BE}{CE}=\frac{1}{2}$，
∴AE=4BE，
∵AE+BE=AB=5，
∴AE=4，BE=1，CE=2，
∴OE=OB-BE=2.5-1=1.5，
∵∠OPG=∠PDC，∠OGP=∠DGE，
∴△OPG∽△EDG，∴$\frac{OG}{GE}=\frac{OP}{ED}$，
∴$\frac{OE-GE}{GE}=\frac{OP}{CE}=\frac{2.5}{2}$，
∴GE=$\frac{2}{3}$，OG=$\frac{5}{6}$，
∴PG=$\sqrt{O{P}^{2}+O{G}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{5}{6}）^{2}}$=$\frac{5}{6}\sqrt{10}$，
GD=$\sqrt{D{E}^{2}+G{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{2}{3}）^{2}}$=$\frac{2}{3}\sqrt{10}$，
∴PD=PG+GD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，圆周角定理，证得△OPG∽△EDG是解题的关键．