Question

7．如图，延长Rt△ABC斜边AB至D点，使BD=AB，连结CD，若cot∠BCD=2，求tanA的值．

Answer 1

分析 tan∠A的值可以转化为求直角三角形的比的问题，因而作DE⊥AC于E．在直角△AED中，根据三角函数的定义就可以求解．

解答 解：如图：做DE⊥AC于E，那么BC∥DE，△ABC∽△ADE．
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{AC}{AE}$，
即$\frac{AB}{AB+BD}$=$\frac{AC}{AC+CE}$．
又由AB=BD，因此AC=CE．
根据BC⊥AC，∠BCE=90°，tan∠DCE=cot∠EDC=cot∠BCD=2，
直角三角形DCE中，tan∠DCE=$\frac{DE}{CE}$=2，
直角三角形ADE中，tan∠A=$\frac{DE}{AE}$=$\frac{DE}{2CE}$=1．

点评 本题涉及到三角形的中位线定理，锐角三角函数的定义，解答此题关键是作出辅助线构造直角三角形，再进行计算．