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【题目】如图1,在菱形ABCD中,AC=2BD=2ACBD相交于点O
(1)求边AB的长;
(2)如图2,将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处,绕点A左右旋转,其中三角板60°角的两边分别与边BCCD相交于点EF,连接EFAC相交于点G
①判断AEF是哪一种特殊三角形,并说明理由;
②旋转过程中,当点E为边BC的四等分点时(BECE),求CG的长.

【答案】12 2等边三角形

【解析】试题分析:(1四边形ABCD是菱形,

∴△AOB为直角三角形,且OA=AC=1OB=BD=

Rt△AOB中,由勾股定理得:

AB===2

2①△AEF是等边三角形.理由如下:

由(1)知,菱形边长为2AC=2

∴△ABC△ACD均为等边三角形,

∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°,又∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°

∴∠BAE=∠CAF

△ABE△ACF中,

∴△ABE≌△ACFASA),

∴AE=AF

∴△AEF是等腰三角形,

∵∠EAF=60°

∴△AEF是等边三角形.

②BC=2E为四等分点,且BECE

∴CE=BE=

△ABE≌△ACF

∴CF=BE=

∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°(三角形内角和定理),

∠AEG=∠FCG=60°(等边三角形内角),

∠EGA=∠CGF(对顶角)

∴∠EAC=∠GFC

△CAE△CFG中,

∴△CAE∽△CFGAA),

,即

解得:CG=

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