Question

如图，已知△ABC内接于⊙O，弦AD交BC于E，过点D的切线MN交直线AB于M，交直线AC于N．
（1）求证：AE•DE=BE•CE；
（2）连接DB，CD，若MN∥BC，试探究BD与CD的数量关系；
（3）在（2）的条件下，已知AB=6，AN=15，求AD的长．

Answer 1

（1）证明：∵连接CD，在⊙O中，
∵∠ABC=∠ADC，∠1=∠3，
∴△ABE∽△CDE，
∴
∵AE•DE=BE•CE；           
解：（2）BD=CD，
理由：连接OD、BD，
∵MN切⊙O于点D，
∴OD⊥MN，
∵MN∥BC，
∴OD⊥BC，
∴在⊙O中，=，
∴BD=CD；                          
（3）∵在⊙O中，=，
∴∠1=∠2，
在⊙O中，
∵∠ADB=∠4，
∵MN∥BC，
∴∠C=∠4，
∴∠ADB=∠C，
∴△ABD∽△ADN，
∴，
∴AD²=AB•AN=6×15=90，
∴AD=．
分析：（1）连接CD，利用已知条件证明△ABE∽△CDE，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：AE•DE=BE•CE；
（2）BD和CD的数量关系是BD=CD，根据切线的性质和平行线的性质证明，=即可；
（3）首先证明△ABD∽△ADN，所以可得：，即AD²=AB•AN问题得解．
点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．乘积的形式通常可以转化为比例的形式，通过相似三角形的性质得出．