Question

已知m、n是关于x的一元二次方程x²+2ax+a²+4a-2=0的两实根，那么m²+n²的最小值是

 

．

Answer 1

分析：利用根与系数的关系可知：m+n=-2a，mn=a²+4a-2，则m²+n²=（m+n）²-2mn=4a²-2（a²+4a-2）=2a²-8a+4=2（a-2）²-4，此题还需考虑有实数根时a的取值范围，所以利用根的判别式求出a的取值范围，再利用二次函数的性质综合考虑求最小值则可．

解答：解：∵△=（2a）²-4（a²+4a-2）≥0，
∴a≤

1

2

又∵x₁+x₂=-2a，x₁x₂=a²+4a-2，
∴x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=2（a-2）²-4，
根据二次函数的性质，a＜2时，函数值随a的增大而减小，
∴当a=

1

2

时，m²+n²的值最小，
此时

x

2 1

+

x

2 2

=2(

1

2

-2)2-4=

1

2

，即最小值为

1

2

．

点评：本题考查了一元二次方程根与系数的关系．注意还需考虑有实数根时a的取值范围，这是本题最易漏掉的条件．解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式．