Question

8．已知如图：MN∥BC交线段AC于点D，交线段AB于点E，点P为线段AB上异于A，B，E的一点，若∠MDP=α，∠BCP=β．
（1）你能用含α、β的式子表示∠CPD的大小吗？请直接写出答案．
（2）请选择以上结论中的任意一个进行证明．

Answer 1

分析 分两种情况进行讨论：①当P在A、E之间时，∠CPD=α-β；②当P在B、E之间时，∠CPD=α+β；先过点P作PF∥MN，再根据平行线的性质，得出∠BCP=∠FPC=α，∠MDP=∠FPD=β，最后根据角的和差关系得出结论．

解答 解：（1）如图，①当P在A、E之间时，∠CPD=α-β；

如图，②当P在B、E之间时，∠CPD=α+β；


（2）选择①当P在A、E之间时，∠CPD=α-β；
证明：过点P作PF∥MN，则PF∥BC，
∴∠BCP=∠FPC=α，∠MDP=∠FPD=β，
∴∠CPD=∠FPC-∠FPD=∠BCP-∠MDP=α-β；

选择②当P在B、E之间时，∠CPD=α+β；
过点P作PF∥MN，则PF∥BC，
∴∠BCP=∠FPC=α，∠MDP=∠FPD=β，
∴∠CPD=∠FPC+∠FPD=∠BCP+∠MDP=α+β．

点评 本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作辅助线，构造平行线，利用两直线平行，内错角相等进行证明．