Question

3．已知某抛物线是由y=-$\frac{1}{2}$x²沿y轴向上平移得到的，且知道它经过点（2，3）．
（1）求这条抛物线的表达式，并写出顶点P的坐标；
（2）若这条抛物线与x轴交于点A、B，试求△PAB的面积．

Answer 1

分析 （1）抛物线的顶点坐标为（0，0），再利用点平移的坐标规律，把点（0，0）向上平移m个单位所得对应点的坐标为（0，m），则根据顶点式写出平移的抛物线解析式为y=x²+m，然后把点（2，3）代入求出m的值即可得到平移后得到的抛物线的解析式．
（2）由抛物线的解析式求得A、B的坐标，进而根据三角形面积公式即可求得．

解答 解：（1）y=-$\frac{1}{2}$x²，
∴抛物线的顶点坐标为（0，0），点（0，0）向上平移m个单位所得对应点的坐标为（0，m），
∴平移的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+m，把点（2，3）代入得
-2+m=3，解得m=5，
∴平移后的抛物线解析式为y=-$\frac{1}{2}$x²+5．
∴顶点P的坐标为（0，5）．
（2）令y=0，则-$\frac{1}{2}$x²+5=0，
解得x=±$\sqrt{10}$，
∴A（-$\sqrt{10}$，0），B（$\sqrt{10}$，0），
∴AB=2$\sqrt{10}$，
∴△PAB的面积=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{10}$×5=5$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换以及抛物线与x轴的交点，求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．