Question

【题目】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间，那么：

当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？

当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？

若设四边形的面积为，试写出与的函数关系式，并求出取何值时，四边形的面积最小？

在轴上是否存在点，使点、在移动过程中，以、、、为顶点的四边形的面积是一个常数？若存在请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）t=3,27；（2）当秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似；（3）存在，当秒时，四边形的面积最小；（4）存在，点的坐标为)，理由见解析

【解析】

（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，根据平行线分线段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面积=△OAB的面积﹣△PBQ的面积求面积；

（2）讨论：当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，即可得到t；

（3）利用y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t），然后配成顶点式即可得到答案；

（4）利用以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积﹣△OPE的面积，用t与m表示出来为×6×（m+2t）﹣×m×t，变形得到（6﹣m）t+3m，当t的系数为0时即可得到m的值．

OP=t，PB=6﹣t，BQ=2t．

（1）当PQ∥OA，四边形OPQA是梯形，∴BP：BO=BQ：BA，即（6﹣t）：6=2t：12，∴t=3，∴PB=3，BQ=6，∴梯形OPQA的面积=△OAB的面积﹣△PBQ的面积=×6×12﹣×3×6=27，所以当t=3时，四边形OPQA是梯形，此时梯形OPQA的面积为27；

（2）当∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，由（1）得t=3，当∠BPQ=∠A，则Rt△BPQ∽Rt△BAO，∴BP：BA=BQ：BO，即（6﹣t）：12=2t：6，∴t=，所以当t=秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与△AOB相似；

（3）存在．

y=S△OAB﹣S△BPQ=×6×12﹣×2t×（6﹣t）=t2﹣6t+36=（t﹣3）2+27．

∵a=1＞0，∴t=3时，y有最小值27，所以当t=3秒时，四边形OPQA的面积最小；

（4）存在．

当E在y轴的负半轴上时，以B、Q、E、P为顶点不能形成四边形，则点E在y轴的正半轴上时，设E（0，m），所以以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积=梯形BQEO的面积﹣△OPE的面积=×6×（m+2t）﹣×m×t=（6﹣m）t+3m

当以B、Q、E、P为顶点的四边形的面积是一个常数，则6﹣m=0，解得：m=12，所以点E的坐标为（0，12）．