Question

16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，过点B作BC的垂线交∠ACB的角平分线于点D，CD与AB边交于点E，过D作DF⊥AB于点F．
（1）若△BDE是边长为2的等边三角形，求AE的长；
（2）求证：AE=BF．

Answer 1

分析 （1）由BD⊥BC，得到∠DBC=90°，由于△BDE是边长为2的等边三角形，于是得到∠DBA=∠BDE=60°，求得∠ABC=∠DCB=30°，得到CD=2BD=4，根据直角三角形的性质即可得到结果；
（2）根据已知条件证得△BDF≌△ACE，即可得到AE=BF．

解答 解：（1）∵BD⊥BC，
∴∠DBC=90°，
∵△BDE是边长为2的等边三角形，
∴∠DBA=∠BDE=60°，
∴∠ABC=∠DCB=30°，
∴CD=2BD=4，
∴CE=2，∵∠A=90°∠AEC=∠DEB=60°，
∴∠ACE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$CE=1；

（2）在△BDF与△ACE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DFB=∠A=90°}\\{∠BDF=∠AEC=60°}\\{BD=CE=2}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ACE，
∴AE=BF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．