Question

4．如图，$\widehat{AB}$的度数为90°，点C、D将$\widehat{AB}$三等分，弦AB与半径OC、OD交于点E、F，求证：AE=CD=FB．

Answer 1

分析 由∠AOB=90°，D、C将$\widehat{AB}$三等分，得到∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，∠A=∠OBF=45°，可证得△OAE≌△OBF，则AE=BF；由OB=OD，∠3=30°，可求出∠5=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，因此得到BF=BD；所以AE=DC=BF．

解答 解：连BD，如图
∵∠AOB=90°，D、C将$\widehat{AB}$三等分，
∴∠1=∠2=∠3=30°，并且CD=BD，
又∵OA=OB，
∴∠A=∠OBF=45°，
∴在△OAE与△OBF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠3}\\{OA=OB}\\{∠OAE=∠OBF}\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBF（ASA），
∴AE=BF．
又∵OB=OD，∠3=30°，
∴∠5=$\frac{1}{2}$（180°-30°）=75°，
而∠4=∠3+∠OBF=30°+45°=75°，
∴BF=BD．
而CD=DB，AE=BF，
所以AE=DC=BF．

点评 本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．同时考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形全等的判定与性质．