Question

15．已知：如图，等腰直角△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，点D为△ABC外一点，∠ADB=45°，连接CD，AD=4$\sqrt{2}$，CD=10，则四边形ACBD的面积为22．

Answer 1

分析 过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，由∠BAC=90°，AB=AC，得到∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90°，证出∠ABE=∠FAC，推出△ABE≌△AFC，得到AE=CF，BE=AF，设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，根据勾股定理得到CF=AE=$\sqrt{2}$，AF=BE=DE=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{10}$，于是得到S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BE$+\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$3\sqrt{2}$$+\frac{1}{2}×2\sqrt{10}×2\sqrt{10}$=32．

解答 解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD交DA的延长线于F，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠EAB+∠FAC=∠EAB+∠EBA=90°，
∴∠ABE=∠FAC，
在△ABE与△CAF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CAF}\\{AB=AC}\\{∠AEB=∠F=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△AFC，
∴AE=CF，BE=AF，
∵∠ADB=45°，
∴DE=BE，
设AE=CF=x，AF=BE=DE=y，
在R_t△CDF中，DF²+CF²=CD²，
即：（x+2y）²+x²=10²，
∵x+y=4$\sqrt{2}$，
∴x=$\sqrt{2}$，y=3$\sqrt{2}$，
∴CF=AE=$\sqrt{2}$，AF=BE=DE=3$\sqrt{2}$，
∴AC=$\sqrt{A{F}^{2}+C{F}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△ABC=$\frac{1}{2}$AD•BE$+\frac{1}{2}$AC•AB=$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=22．
故答案为：22．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的求法，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．