Question

19．在矩形ABCD中，AB=3米，BC=4米，动点P以2米/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点同时移动的时间为t秒（0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，PQ∥AB；
（2）设四边形ABQP的面积为y，当t为何值时，y的值最小？并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）首先由勾股定理求得AC=5，然后根据AB∥PQ可得到$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，从而得到关于t的方程，从而可解得t的值；
（2）过点P作PE⊥BC，由PE∥AB可得到$\frac{PC}{AC}=\frac{PE}{AB}$，从而可求得PE=3-$\frac{6}{5}t$，然后根据y=△ABC的面积-△PQC的面积列出t与y的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可．

解答 解：（1）如图1所示：

在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}=5$．
设运动时间为t，则PC=AC-AP=5-2t，QC=t，
∵AB∥PQ，
∴△CPQ∽△CAB．
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{QC}{BC}$，$\frac{5-2t}{5}=\frac{t}{4}$．
解得；t=$\frac{20}{13}$；
（2）如图2所示：过点P作PE⊥BC．

设运动时间为t，则PC=AC-AP=5-2t，QC=t，
∵PE∥AB，
∴△CPE∽△CAB．
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{PE}{AB}$，即$\frac{5-2t}{5}=\frac{PE}{3}$．
∴PE=3-$\frac{6}{5}t$．
∴△PQC的面积=$\frac{1}{2}QC•PE=\frac{1}{2}×t（3-\frac{6}{5}t）$=-$\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t$．
∴y=△ABC的面积-△PQC的面积=$\frac{1}{2}×4×3$$-（-\frac{3}{5}{t}^{2}+\frac{3}{2}t）$=$\frac{3}{5}{t}^{2}-\frac{3}{2}t+6$，
配方得：y=$\frac{3}{5}（t-\frac{5}{4}）^{2}+\frac{81}{16}$．
∴当t=$\frac{5}{4}$时，y有最小值，最小值为y=$\frac{81}{16}$．

点评 本题主要考查的是二次函数和相似三角形的性质和判定的综合应用，利用相似三角形的性质求得PE的长，从而得到y与t的函数关系式是解题的关键．