Question

9．如图，已知在等边△ABC中，点D、E分别在BC，AC上，BD=CE，AD与BE交于点F
（1）求证：△BDF∽△BEC；
（2）如果AB=12，BD=4，求S_△BDF：S_△BEC．

Answer 1

分析 （1）由三角形ABC是等边三角形，得到AB=BC，∠C=∠ABD=60°，推出△ADB≌△BEC，得到∠BAF=∠FBD，根据外角的性质得到∠DFB=60°，于是得到∠FBD=∠C，由于∠FBD=∠FBD，即可得到结论；
（2）过E作EQ⊥BC于Q，则∠EQC=∠EQB=90°，根据∠C=60°，EC=BD=4，得到CQ=2，根据勾股定理得到EQ=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，求得BQ=12-2=10，在Rt△BQE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{Q}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）证明：∵三角形ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠C=∠ABD=60°，
在△ADB和△BEC中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}\\{∠ABD=∠C}\\{BD=CE}\end{array}\right.$
∴△ADB≌△BEC，
∴∠BAF=∠FBD，
∴∠DFB=∠BAF+∠ABF=∠ABF+∠FBD=∠ABC=60°，
∴∠FBD=∠C，
∵∠FBD=∠FBD，
∴△BDF∽△BEC；

（2）解：∵△ADB≌△BEC，
∴AD=BE，
过E作EQ⊥BC于Q，
则∠EQC=∠EQB=90°，
∵∠C=60°，EC=BD=4，
∴CQ=2，EQ=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵BC=AB=12，
∴BQ=12-2=10，
在Rt△BQE中，由勾股定理得：BE=$\sqrt{B{Q}^{2}+E{Q}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{7}$，
由（1）证得△BDF∽△BCE，
∴$\frac{{S}_{△BDF}}{{S}_{△BEC}}$=（$\frac{BD}{BE}$）²=（$\frac{4}{4\sqrt{7}}$）²=$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．