Question

14．在直角△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，点D、E分别在AB、AC边上，将∠A沿DE折叠，使点A落在三角形内部（不含边界）的点P处，连接PB、PC．设P到直线DE的距离d．若△PBC是直角三角形，则d的取值范围是$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 以BC为直径作⊙O，由直径所对的圆周角是90°可知三角形△PBC是直角三角形，在直角△ABC中∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，可知BC=2，AC=2$\sqrt{3}$，由翻折的性质可知：d=PF=$\frac{1}{2}AP$，当点P在AO于圆的交点处时，d有最小值，当点P与点C重合时，d有最大值，从而可求得d的取值范围．

解答 解：以BC为直径作⊙O．
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BPC=90°，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，
∴BC=2．
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
由翻折的性质可知：PA⊥DE，PF=AF．
∴d=PF=$\frac{1}{2}AP$．
如图1所示：

OA=$\sqrt{O{C}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PA=AO-OP=$\sqrt{13}$-2．
∴d=$\frac{1}{2}AP=\frac{\sqrt{13}-2}{2}$．
如图2所示：

当点P与点C重合时，PA=AC=2$\sqrt{3}$，
∴d=$\frac{1}{2}AP$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$．
∵点P不在边界上，故d＜$\sqrt{3}$．
∴d的取值范围是$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{13}-2}{2}$$≤d＜\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是翻折的性质、勾股定理、含30°直角三角形的性质，根据题意作出圆O是解题的关键．