Question

【题目】 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），以P为圆心PB为半径作⊙P交AB于点D过点D作⊙P的切线交边AC于点E，

（1）求证：AE=DE；

（2）若PB=2，求AE的长；

（3）在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AE=；（3）≤AE＜．

【解析】

（1）首先得出∠ADE+∠PDB=90°，进而得出∠B+∠A=90°，利用PD=PB得∠EDA=∠A进而得出答案；

（2）利用勾股定理得出ED2+PD2=EC2+CP2=PE2，求出AE即可；

（3）分别根据当D（P)点在B点时以及当P与C重合时，求出AE的长，进而得出AE的取值范围．

（1）证明：如图1，连接PD．

∵DE切⊙O于D．

∴PD⊥DE．

∴∠ADE+∠PDB=90°．

∵∠C=90°．

∴∠B+∠A=90°．

∵PD=PB．

∴∠PDB=∠B．

∴∠A=∠ADE．

∴AE=DE；

（2）解：如图1，连接PE，设DE=AE=x，则EC=8-x，

∵PB=PD=2，BC=6．

∴PC=4．

∵∠PDE=∠C=90°，

∴ED2+PD2=EC2+CP2=PE2．

∴x2+22=（8-x）2+42．

解得x=．

∴AE=；

（3）解：如图2，当P点在B点时，此时点D也在B点，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，

∴EC2+BC2=BE2，

∴（8-x）2+62=x2，

解得：x=，

如图3，当P与C重合时，

∵AE=ED，设AE=ED=x，则EC=8-x，

∴EC2=DC2+DE2，

∴（8-x）2=62+x2，

解得：x=，

∵P为边BC上一个动点（可以包括点C但不包括点B），

∴线段AE长度的取值范围为：≤AE＜．