Question

【题目】己知是等边三角形，于点，点是直线上的动点，将绕点顺时针方向旋转得到，连接、、；

（1）如图1，当点在线段上时，猜想和的数量关系；（直接写出结果）

（2）如图2，当点在线段的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；

（3）点在直线上运动，当是等腰直角三角形时，请直接写出的度数．

图1图2备用图

Answer 1

【答案】（1）∠AFC+∠FAC=90°；（2）成立，理由见解析；（3）15°或75°

【解析】

（1）由旋转的性质可得，，，由“SAS”可证△ABE≌△CBF，可得∠BAE=∠BCF=30°，由直角三角形的性质可得结论；

（2）由旋转的性质可得，，，先求证△ABE≌△CBF，由△ABE和△CBF全等可得∠BAE=∠BCF=30°，由直角三角形的性质可得结论；

（3）由全等三角形的性质和等边三角形的性质可得AB=AE，由等腰三角形的性质求解即可；

解：

（1）∠AFC+∠FAC=90°，

理由如下：连接AF，

∵是等边三角形，

∴AB=AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∵AB=AC，AD⊥BC，

∴∠BAD=30°，

∵将绕点顺时针方向旋转得到，

∴，，

∴∠EBF=∠ABC=60°，

∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠ABE=∠FBC，且AB=AC，，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF=30°，

∴∠ACF=90°，

即∠AFC+∠FAC=90°；

（2）成立，∠AFC+∠FAC=90°，

证明：由旋转可得，

∠EBF=60°，BE=BF，

∴△BEF是等边三角形，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，

∴∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠ABC+∠CBE=∠EBF+∠CBE，

即∠ABE=∠CBF，

∴△ABE≌△CBF，

∴∠BAE=∠BCF，

∵AD⊥BC，

∴∠BAE=∠BAC=30°，

∴∠BCF=30°，

∴∠ACB+∠BCF=90°，

即∠ACF=90°，

∴∠AFC+∠FAC=90°，

（3）∵△ACF是等腰直角三角形，

∴AC=CF，

∵△ABE≌△CBF，

∴CF=AE，

∴AC= AE=AB，

∴，

∴，