(1)已知.如图△ABC中.∠A=90°.∠B=67.5°．请画一条直线.把这个三角形分割成两个等腰三角形．(请你选用下面给出的备用图.把所有不同的分割方法都画出来.只需画图.不必说明理由.但要在图中标出相等两角的度数)(2)已知:在△ABC中.∠C是其最小的内角.过点B的一条直线BD把这个三角形分割成两个等腰三角形.直线BD交AC边于点D．� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

（1）已知，如图△ABC中，∠A=90°，∠B=67.5°．请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来，只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）

（2）已知：在△ABC中，∠C是其最小的内角，过点B的一条直线BD把这个三角形分割成两个等腰三角形，直线BD交AC边于点D．
①若∠C是△BCD的顶角，请探求∠ABC与∠C之间的关系；
②若∠C是△BCD的底角，∠BDC是△BCD的顶角．请探求∠ABC与∠C之间的关系；
③是否存在∠C是底角且∠CBD是顶角的等腰△BCD？若存在，请探求∠ABC与∠C之间的关系；若不存在，说明理由．

分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．
（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．

解答：解：（1）如图所示：

（2）设∠ABC=y，∠C=x，过点B的直线交边AC于D．在△DBC中，

①若∠C是顶角，如图1，则∠ADB＜90°，∠CBD=∠C=

（180°-x）=90°-

x，∠A=180°-x-y．
此时只能有∠A=∠ABD，即180°-x-y=y-（90°-

x），
∴3x+4y=540°，即∠ABC=135°-

∠C．

②若∠C是底角，
第一种情况：如图2，当DB=DC时，则∠DBC=x，△ABD中，∠ADB=2x，∠ABD=y-x．
由AB=AD，得2x=y-x，此时有y=3x，即∠ABC=3∠C．
由AB=BD，得180°-x-y=2x，此时3x+y=180°，即∠ABC=180°-3∠C．

由AD=BD，得180°-x-y=y-x，此时y=90°，即∠ABC=90°，∠C为小于45°的任意锐角．
第二种情况，如图3，当BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，此时只能有AD=BD，
从而∠A=∠ABD=

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．
∴当∠C是底角时，BD=BC不成立．
综上，∠ABC与∠C之间的关系是：∠ABC=135°-

∠C．
或∠ABC=3∠C．

③由BD=BC时，∠BDC=x，∠ADB=180°-x＞90°，
此时只能有AD=BD，
从而∠A=∠ABD=

∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．

点评：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．
第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．由

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