Question

27、如图1，2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．
（1）如图1，当点E在AB边的中点，N为AD边的中点位置时：
①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是

相等

；
②请证明你的上述猜想．
（2）如图2，当点E在AB边上的任意位置时，猜想此时DE与EF有怎样的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：根据图形可以得到DE=EF，NE=BF，要证明这两个关系，只要证明△DNE≌△EBF即可．在第二个图形中，只要验证一下这个相等关系是否还成立就可以．

解答：解：（1）①DE=EF；
②证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，
∴DN=EB，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
∴△DNE≌△EBF，
∴DE=EF，NE=BF；
（2）在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，点N就使得NE=BF成立（图略）此时，DE=EF．证明同上．

点评：此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键就是求证△DNE≌△EBF．