Question

4．如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＜2AC，动点D从C点出发以每秒3个单位的速度沿射线CB运动，同时点E从C点出发以每秒4个单位的速度沿射线CA运动，并在射线CD上截取DF=DE（点F在点D的右侧），连接EF，设点D运动的时间为t（s），△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，S关于t的函数图象如图2所示（其中0＜t≤a，a＜t≤$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{2}$＜t≤c时，函数的解析式不同）
（1）填空：a的值为1；
（2）求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当重叠部分为完整的△DEF的面积时，求出S_△DEF=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×5t×4t=10t²，即F与B重合时，是边界，列式10t²=10，可求出t=1，即a=1；
（2）分三种情况：①如图1，当0＜t≤1时，S=S_△DEF=10t²，②当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图5，重叠部分为△DEF和△BGF面积的差；③当D与B重合时，S=0，则c=8÷3=$\frac{8}{3}$，当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{8}{3}$时，如图6，重叠部分的面积为△BDG的面积．

解答 解：（1）由题意得：CD=3t，CE=4t，
由勾股定理得：DE=5t，
∴DF=DE=5t，
∴S_△DEF=$\frac{1}{2}$CE•DF=$\frac{1}{2}$×5t×4t=10t²，
当10t²=10时，
t=±1，
∴a=1，
故答案为：1；
（2）由图2可知：当t=1时，△DEF与△ABC重叠部分的面积为△DEF的面积，
①如图1，当0＜t≤1时，S=S_△DEF=10t²，
如图3，当t=1时，此时F与B重合，
BC=CD+DF=3t+5t=8t=8
由图2可知：当t=$\frac{3}{2}$时，E与A重合，如图4
此时，AC=CE=4t=4×$\frac{3}{2}$=6，
②当1＜t≤$\frac{3}{2}$时，如图5，设EF与AB交于G，过G作GH⊥BC于H，
BF=CD+DF-BC=3t+5t-8=8t-8，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{GH}{BH}$=$\frac{6}{8}$=$\frac{3}{4}$，
∴设GH=3x，BH=4x，
tan∠EFC=$\frac{EC}{FC}=\frac{GH}{FH}$，
∴$\frac{4t}{8t}=\frac{GH}{FH}$=$\frac{1}{2}$，
∴FH=2GH，
∴BH+BF=2GH，
∴4x+8t-8=6x，
x=4t-4，
∴GH=3x=3（4t-4）=12t-12，
∴S=S_△DEF-S_△BGF=10t²-$\frac{1}{2}$BF•GH，
=10t²-$\frac{1}{2}$（8t-8）（12t-12），
=-38t²+96t-48，
③当D与B重合时，S=0，则c=8÷3=$\frac{8}{3}$，
当$\frac{3}{2}$＜t≤$\frac{8}{3}$时，如图6，设ED与AB交于点G，过G作GH⊥BC于H，
同理设GH=3x，BH=4x，则DH=BH-BD=4x-（8-3t）=4x-8+3t，
tan∠GDH=$\frac{EC}{CD}=\frac{GH}{DH}$，
$\frac{4t}{3t}=\frac{3x}{4x-8+3t}$，
x=$\frac{32-12t}{7}$
∴GH=3x=$\frac{3（32-12t）}{7}$，
∴S=S_△BDG=$\frac{1}{2}$BD•GH=$\frac{1}{2}$（8-3t）$•\frac{3（32-12t）}{7}$
=$\frac{54}{7}{t}^{2}$-$\frac{288}{7}$t+$\frac{384}{7}$；
综上所述，S与t的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{10{t}^{2}（0＜t≤1）}\\{-38{t}^{2}+96t-48（1＜t≤\frac{3}{2}）}\\{\frac{54}{7}{t}^{2}-\frac{288}{7}t+\frac{384}{7}（\frac{3}{2}＜t≤\frac{8}{3}）}\end{array}\right.$．

点评 本题是动点问题的函数图象，有难度，结合图1和图2认真理解题意，利用数形结合的思想，先表示出D和E的路程，根据已知条件分别求出直角△ABC两直角边的长是关键，并采用了分类讨论的思想，注意边界点的时间．