Question

11．若我们规定二次函数y₁=ax²+bx+c（α≠0）的″负相关函数″为y₂=-ax²+bx-c．
（1）写出二次函数y₁=2x²+x-3的″负相关函数″y₂；
（2）若点M（m，n）在二次函数y₁=2x²+x-3的图象上，证明点M′（-m，-n）在它的″负相关函数″的图象上；
（3）如图所示是二次函数y₁=2x²+x-3和它的″负相关函数″的图象，这两条抛物线有两个交点，A、B两点分别在它们交点之间的两条抛物线上，若线段AB平行于y轴，求线段AB的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据新定义可得；
（2）将点M（m，n）代入y₁=2x²+x-3得n=2m²+m-3，即-2（-m）²+（-m）+3=-n，从而得证；
（3）设A（a，-2a²+a+3），知B（a，2a²+a-3），从而得AB的长=（-2a²+a+3）-（2a²+a-3）=-4a²+6，根据由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=2{x}^{2}+x-3}\\{{y}_{2}=-2{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，即可知-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，从而得出答案．

解答 解：（1）二次函数y₁=2x²+x-3的″负相关函数″y₂=-2x²+x+3；

（2）∵点M（m，n）在二次函数y₁=2x²+x-3的图象上，
∴n=2m²+m-3，
∴-2（-m）²+（-m）+3=-n，
∴点M′（-m，-n）在y₂=-2x²+x+3上；

（3）设A（a，-2a²+a+3），
∵线段AB平行于y轴，
∴B（a，2a²+a-3），
则AB的长=（-2a²+a+3）-（2a²+a-3）
=-4a²+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=2{x}^{2}+x-3}\\{{y}_{2}=-2{x}^{2}+x+3}\end{array}\right.$得x=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴-$\frac{\sqrt{6}}{2}$＜a＜$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴当a=0时，线段AB的长度取得最大值，最大值为6．

点评 本题主要考查二次函数的性质及新定义的理解，根据新定义得出负相关函数的解析式及表示出线段AB的解析式是解题的关键．