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【题目】如图,已知直线AB的函数解析式为y=2x+10,与y轴交于点A,与x轴交于点B.

(1)求A,B两点的坐标;

(2)若点P(a,b)为线段AB上的一个动点,作PE⊥y轴于点E,PF⊥x轴于点F,连接EF,问:

①若△PBO的面积为S,求S关于a的函数解析式;

②是否存在点P,使EF的值最小?若存在,求出EF的最小值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)A(0,10),B(-5,0);(2)①S=5a+25(-5≤a≤0);②存在点P使得EF的值最小,最小值为2.

【解析】(1)由直线AB解析式,令x=0y=0分别求出yx的值,即可确定出AB的坐标;

(2)①把P坐标代入直线AB解析式,得到ab的关系式,三角形POB面积等于OB为底边,P的纵坐标为高,表示出Sa的解析式即可;

②存在,理由为:利用三个角为直角的四边形为矩形,得到四边形PFOE为矩形,利用矩形的对角线相等得到EF=PO,由O为定点,P为动点,得到OP垂直于AB时,OP取得最小值,利用面积法求出OP的长,即为EF的最小值.

(1)对于直线AB的解析式y=2x+10,

x=0,得到y=10,

y=0,得到x=-5,

A(0,10),B(-5,0);

(2)连接OP,如图,

①∵P(a,b)在线段AB上,∴b=2a+10,

0≤2a+10≤10,得到-5≤a≤0,

由(1)得OB=5,

OB·(2a+10),

S=(2a+10)=5a+25(-5≤a≤0);

②存在,理由:

∵∠PFO=FOE=OEP=90°,

∴四边形PFOE为矩形,∴EF=PO,

O为定点,P在线段AB上运动,

∴当OPAB时,OP取得最小值,

AB·OP=OB·OA,

×5·OP=×5×10,解得OP=2

EF=OP=2

综上,存在点P使得EF的值最小,最小值为2.

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∵S四边形ADCB=SACD+SABC= 12 b2+ 12 ab.

∵S四边形ADCB=SADB+SDCB= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴ 12 b2+ 12 ab= 12 c2+ 12 a(b﹣a)

∴a2+b2=c2

请参照上述证法,利用图2完成下面的证明.

将两个全等的直角三角形按图2所示摆放,其中∠DAB=90°.求证:a2+b2=c2

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