Question

已知：抛物线y=-x²-2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C，顶点为P．已知点M是抛物线上的一个动点，且在第二象限内，当△ACM的面积最大时，求出此时点M的坐标和△ACM的最大面积．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：由函数的解析式画出大致图象，当-2＜x＜0或-3＜x≤-2时，如图1、2，设△ACM的面积为S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y轴，就有ME=-x，OE=-x²-2x+3，由三角形的面积公式和梯形的面积公式就可以求出结论．

解答：解：设△ACM的面积为S，M（x，-x²-2x+3）（x＜0），作ME⊥y轴，
∴ME=-x，OE=-x²-2x+3．
∵y=-x²-2x+3，
∴y=0时，0=-x²-2x+3，
∴x₁=1，x₂=-3．
∵点A在点B左侧，
∴OA=3．
如图1，当-2＜x＜0时，
S₁=

(-x+3)(-x2-2x+3)

2

-

(-x2-2x+3-3)(-x)

2

-4.5，
=-

3

2

x²-

9

2

x，
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴a=-

3

2

＜0，抛物线开口向下，函数有最大值．
∴x=-

3

2

时，S_最大=

27

8

；
∵-2＜x＜0，
x=-2时，S_最大=3
如图2，当-3＜x≤-2时，
S₂=

(-x+3)(-x2-2x+3)

2

+

-x(3+x2+2x-3)

2

-

9

2

，
=-

3

2

x²-

9

2

x，
=-

3

2

（x+

3

2

）²+

27

8

，
∴a=-

3

2

＜0，
∴抛物线的开口向下，在对称轴的左侧S随x的增大而增大．
∴x=-2时，S_最大=3
∵

27

8

＞3，
∴x=-

3

2

时，S_△ACM最大=

27

8

．
∴M（-

3

2

，

15

4

）．
答：M（-

3

2

，

15

4

）时，S_△ACM最大=

27

8

．

点评：本题考查了二次函数的图象的性质的运用，三角形的面积公式的运用，梯形的面积公式的运用，抛物线与x轴的交点坐标的运用，分类讨论的运用．解答时求出S与x的关系式是关键．