Question

【题目】如图1，作∠BPC平分线的反向延长线PA，现要分别以∠APB，∠APC，∠BPC为内角作正多边形，且边长均为1，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以∠BPC为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时∠BPC=90°，而=45是360°（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图2所示．

图2中的图案外轮廓周长是_____；

在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是_____．

Answer 1

【答案】 14 21

【解析】根据图2将外围长相加可得图案外轮廓周长；设∠BPC=2x，先表示中间正多边形的边数：外角为180°﹣2x，根据外角和可得边数=，同理可得两边正多边形的外角为x，可得边数为，计算其周长可得结论．

图2中的图案外轮廓周长是：8﹣2+2+8﹣2=14；

设∠BPC=2x，

∴以∠BPC为内角的正多边形的边数为：，

以∠APB为内角的正多边形的边数为：，

∴图案外轮廓周长是=﹣2+﹣2+﹣2=+﹣6，

根据题意可知：2x的值只能为60°，90°，120°，144°，

当x越小时，周长越大，

∴当x=30时，周长最大，此时图案定为会标，

则则会标的外轮廓周长是=﹣6=21，

故答案为：14，21．