Question

【题目】如图，在平行四边形中，点O为对角线BD的中点，DE、BF分别平分∠ADC和∠ABC.

(1)求证：EF、BD互相平分；

(2)若∠A=60，AE=2EB，AD=4，求四边形DEBF的周长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）12.

【解析】

（1）根据平行四边形的对角相等以及角平分线的定义，证明∠ABF=∠AED，则DE∥BF，即可得到四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分即可证得；

（2）证明△ADE是等边三角形，求得AE、DE的长，则BE即可求得，进而求得DEBF的周长．

证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ADC=∠ABC.

又∵DE，BF分别是∠ADC，∠ABC的平分线，

∴∠ABF=∠CDE.

又∵∠CDE=∠AED，

∴∠ABF=∠AED，

∴DE∥BF，

∵DF∥BE

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴EF，BD互相平分.

(2)由(1)知∠ADE=∠AED，

∵∠A=60°，

∴△ADE是等边三角形.

∴AE=DE=AD=4，

又∵AE:EB=2:1，

∴EB=2.

∴四边形DEBF的周长是12.