Question

5．如图，点C是以点O为圆心、AB为直径的半圆上的一个动点（点C不与点A、B重合），如果AB=4，过点C作CD⊥AB于D，设弦AC的长为x，线段CD的长为y，那么在下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 连结BC，如图，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，则利用勾股定理得到BC=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，再利用面积法可得到y=$\frac{x•\sqrt{16-{x}^{2}}}{4}$，CD为半径时最大，即y的最大值为2，此时x=2$\sqrt{2}$，由于y与x函数关系的图象不是抛物线，也不是一次函数图象，则可判断A、C错误；利用y最大时，x=2$\sqrt{2}$可对B、D进行判断．

解答 解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{16-{x}^{2}}$，
∵$\frac{1}{2}$CD•AB=$\frac{1}{2}$AC•BC，
∴y=$\frac{x•\sqrt{16-{x}^{2}}}{4}$，
∵y的最大值为2，此时x=2$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用圆周角定理得到∠ACB=90°．