Question

10．复习课中，教师给出关于x的函数y=-2k²x-1+k²（k≠0）．同学们在独立思考后，探索并写出了与该函数有关的许多结论（性质），教师也补充了几条结论，现从中选出以下四条：
①此函数是一次函数，但不可能是正比例函数；
②此函数图象必通过第二、四象限，且函数值y随着自变量x的增大而减小；
③若函数图象与x轴交于点A（a，0），则a＜0.5；
④此函数图象与直线y=4x-3、y轴围成的三角形的面积必小于0.5
教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后总结回顾并简单写出解决以上问题时所用的数学思想方法．

Answer 1

分析 ①通过反例即可判断；
②根据一次函数的性质即可判断；
③先利用函数值为0可计算出a=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{k}^{2}}$，则$\frac{1}{2{k}^{2}}$＞0，a＜0.5，于是可进行判断；
④求出直线y=-2k²x-1+k²（k≠0）和直线y=4x-3的交点坐标，以及它们与y轴的交点坐标，则根据三角形面积公式得到直线y=-2k²x-1+k²与直线y=4x-3、y轴围成的面积为$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$＞0.5，即可进行判断．

解答 解：此函数是一次函数，当k=±1时，它是正比例函数，所以①是假命题；
∵-2k²＜0，∴此函数图象必通过第二、四象限，且函数值y随着自变量x的增大而减小，所以②真命题；
若函数图象与x轴交于A（a，0），令y=0，则-2k²x-1+k²=0，解得x=$\frac{{k}^{2}-1}{2{k}^{2}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2{k}^{2}}$，∵$\frac{1}{2{k}^{2}}$＞0时，∴a＜0.5，所以③是真命题；
此函数图象与直线y=4x-3的交点坐标为（$\frac{1}{2}$，-1），此直线与y轴的交点坐标为（0，-1+k²），直线y=4x-3与y轴的交点坐标为（0，-3），所以此函数图象与直线y=4x-3、y轴围成的面积=$\frac{1}{2}$•|-1+k²+3|•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$•（k²+2）=$\frac{1}{4}$k²+$\frac{1}{2}$＞0.5，所以④是假命题．

点评 本题考查了一次函数的性质：k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半轴．