Question

5．已知：如图，⊙O过△ABC的B、C两点，分别交AB、AC于点E、F．
（1）求证：△AEF∽△ACB．
（2）若AE=$2\sqrt{5}$，AF=5，BC=4，AC=8，连结BF．
①求证：BF为直径；
②过E作EH⊥AC，垂足为H．求证：EH与⊙O相切．

Answer 1

分析 （1）由圆内接四边形的性质可知∠ABC=∠AFE，从而根据∠A=∠A，∠ABC=∠AFE可证明△AEF∽△ACB；
（2）①由相似三角形的性质先求得AB=4$\sqrt{5}$，在△ACB中，利用勾股定理的逆定理可证明△ABC为直角三角形，故此BF为圆O的直径；②连接OE．由△AEF∽△ACB，∠C=90°，可求得∠AEF=90°，在Rt△AEF中，利用勾股定理求得EF=$\sqrt{5}$，然后由BE=AB-AE得到BE=2$\sqrt{5}$，从而可知EF是AB的垂直平分线，从而得到BF=AF，于是有∠A=∠ABF，接下来证明∠FEH=∠A=∠ABF，故此∠HEF+∠OEF=∠ABF+∠EFB=90°，从而得到EH是圆O的切线．

解答 证明：（1）∵四边形BCFE是圆O的内接四边形，
∴∠ABC=∠AFE．
又∵∠A=∠A
∴△AEF∽△ACB．
（2）①∵△AEF∽△ACB，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AE}$．
∴$\frac{AB}{8}=\frac{5}{2\sqrt{5}}$．
解得：AB=4$\sqrt{5}$．
∵AB=4$\sqrt{5}$，AC=8，BC=4．
∴AB²=AC²+BC²．
∴△ABC为直角三角形．
∴∠C=90°．
∴BF是圆O的直径．
②连接OE．

∵BF是圆O的直径，
∴∠FEB=90°．
∴EF⊥AB．
∵BE=AB-AE=4$\sqrt{5}$-2$\sqrt{5}$=2$\sqrt{5}$，
∴BE=AE．
∴EF是AB的垂直平分线．
∴BF=AF．
∴∠A=∠ABF．
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE．
∴∠A+∠OEF=∠EBF+∠BFE=90°．
∵EH⊥AC，
∴∠HEF+∠EFH=90°．
又∵∠FEA+∠A=90°
∴∠HEF=∠A．
∴∠HEF+∠OEF=90°，即∠OEH=90°．
∴EH与⊙O相切．

点评 本题主要考查的圆的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理和勾股定理的逆定理的应用、相似三角形的性质和判定、线段垂直平分线的性质的应用，证得∠OEH=90°是解题的关键．