Question

20．如图，点A（0，1）、B（2，0），点P从（4，0）出发，以每秒2个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，同时，点Q从点B出发，以每秒1个单位长度沿x轴向坐标原点O匀速运动，过点P作x轴的垂线l，过点Q作AB的垂线l₂，它们的交点为M．设运动的时间为t（0＜t＜2）秒
（1）写出点M的坐标（用含t的代数式表示）；
（2）设△MPQ与△OAB重叠部分的面积为S，试求S关于t的函数关系式及t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出P与Q坐标，进而表示出PQ的长，由三角形OAB与三角形QPM相似，得比例表示出PM，进而表示出M坐标；
（2）①设l2与AB的交点为C，l1与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式，把M坐标代入求出t的值，分三种情况考虑：（i）当0＜t≤1时，如图1所示，根据S=S_△CQB表示出S；（ii）当1＜t＜$\frac{5}{3}$时，如图2所示，根据S=S_{四边形CQPD}=S_△CQB-S_△PDB表示出S；（iii）当$\frac{5}{3}$≤t＜4时，根据S=S_△POM表示出S即可．

解答 解：（1）由题意得：P（4-2t，0），Q（2-t，0），
∴PQ=2-t，
∵△OAB∽△QPM，
∴$\frac{MP}{PQ}=\frac{OB}{OA}=\frac{2}{1}$=2，
∴PM=2PQ=4-2t，
∴M（4-2t，4-2t）；
（2）设l₂与AB的交点为C，l₁与AB的交点为D，易得直线AB对应的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+1，
∴4-2t=-$\frac{1}{2}$（4-2t）+1，
解得：t=$\frac{5}{3}$；
（i）当0＜t≤1时，如图1所示，在Rt△OAB中，AB=$\sqrt{5}$，

由△OAB∽△CQB，得到$\frac{{S}_{△CQB}}{{S}_{△OAB}}=（\frac{t}{\sqrt{5}}）^{2}$，
∴S=S_△CQB=$\frac{{t}^{2}}{5}$×$\frac{1}{2}$×1×2=$\frac{{t}^{2}}{5}$；
（ii）当1＜t＜$\frac{5}{3}$时，如图2所示，PD=2t-2，

由△OAB∽△PDB，得到PB=t-1，
∴S=S_{四边形CQPD}=S_△CQB-S_△PDB=${S}_{△CQB}-\frac{1}{2}PD•PB$=$\frac{{t}^{2}}{5}-\frac{1}{2}$•（2t-2）•（t-1）═-$\frac{4}{5}{t}^{2}$+2t-1；
（iii）当$\frac{5}{3}$≤t＜2时，S=S_△POM=$\frac{1}{2}$PQ•PM=$\frac{1}{2}$•（2-t）•（4-2t）=t²-4t+4．

点评 此题考查了一次函数综合题，涉及的知识点有：一次函数、相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．