Question

9．已知：如图，在∠AOB外有一点P，
（1）试画出点P关于直线OA的对称点P₁，再画出点P₁关于直线OB的对称点P₂；
（2）试探索∠POP₂与∠AOB的大小关系并说明理由；
（3）若点P在∠AOB的内部，上述结论还成立吗？写出此时的关系式．

Answer 1

分析 （1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）连接OP₁，根据轴对称的性质即可得出结论；
（3）根据（2）的证明过程可得出结论．

解答 解：（1）如图所示；

（2）∠POP₂=2∠AOB．
理由：∵点P关于直线OA的对称P₁，点P₁与P₂关于直线OB的对称，
∴∠POD=∠DOP₁，∠P₂OE=∠P₁OE，
∴∠POD+∠P₂OE=∠DOP₁+∠P₁OE，即∠POP₂=2∠AOB；

（3）点P在∠AOB的内部，结论∠POP₂=2∠AOB还成立，
理由：如图1，
∵点P关于直线OA的对称P₁，点P₁与P₂关于直线OB的对称，
∴∠POD=∠DOP₁，∠P₂OE=∠P₁OE，
∴∠POP₂=∠POE+∠P₂OE
=∠P₁OE+∠P₂OE
=∠P₁OD+∠POD+∠POE+∠POE
=2∠POD+2∠POE
=2∠AOB；

点评 本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．