Question

15．（1）如图1，以正方形ABCD的边BC为直径作半圆O，过点D作直线切半圆O于点F，交AB边于点E，则三角形ADE和直角梯形EBCD周长之比为6：7；
（2）如图2，大圆O的半径OC是小圆O₁的直径，且有OC垂直于圆O的直径AB，圆O₁的切线AD交OC的延长线于点E，切点为D．已知圆O₁的半径为r，则AO₁=$\sqrt{5}$r，DE=$\frac{4}{3}$r．

Answer 1

分析 （1）设EF=x，DF=y，在△ADE中，利用勾股定理可得列方程求出y与x的关系，从而得到三角形ADE的周长和直角梯形EBCD周长，从而可求得两者周长之比．
（2）连接O₁D，由切线的性质知O₁D⊥AE，由题意知，CO=AO=2r，O₁D=O₁C=r，进而由切线长定理知，AD=AO=2r；再根据勾股定理得AE²=AO²+OE²，O₁E²=O₁D²+DE²，然后即可得到关于DE，CE，的方程组，解之即可得到DE=$\frac{4}{3}$r．

解答 解：（1）根据切线长定理得，BE=EF，DF=DC=AD=AB=BC．
设EF=x，DF=y，如图1，
则在直角△AED中，AE=y-x，AD=CD=y，DE=x+y．
根据勾股定理可得：（y-x）²+y²=（x+y）²，
∴y=4x，
∴三角形ADE的周长为12x，直角梯形EBCD周长为14x，
∴两者周长之比为12x：14x=6：7，
故△ADE和直角梯形EBCD周长之比为：6：7．
故答案为：6：7．

（2）如图2，连接O₁D．
∵圆O₁的切线AD交OC的延长线于点E，
∴O₁D⊥AE，
由题意知，CO=AO=2r，O₁D=O₁C=r，
由切线长定理知，AD=AO=2r，
∴AO₁=$\sqrt{5}$r，
由勾股定理得，AE²=AO²+OE²，
即（2r+DE）²=（2r）²+（2r+EC）²，①
O₁E²=O₁D²+DE²，
即（r+EC）²=r²+DE²，②
由①②解得，DE=$\frac{4}{3}$r．
故答案：$\sqrt{5}$r；$\frac{4}{3}$r．

点评 此题考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，切线长定理的运用是本题的关键．