Question

如图①，点A（m，0）是x轴的上一点，且|n|+=0．以OA为一边，在第四象限内作等边△OAB．C是x轴负半轴上的一动点，连接CB，在CB的上方作等边△DCB，直线DA交y轴于E点．
（1）求线段OA的长；
（2）当C点在y轴的负半轴上运动时，线段AE的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请证明你的结论并求出AE的长．

（3）如图②，F是点A关于y轴的对称点，作直线FE．P是直线FE上的E点上方一动点，连接PA，在PA的左侧作等边△PAT，I是∠APT与∠PAT的角平分线的交点．当点P运动时，点I是否总在y轴上运动？请判断并证明你的结论．

Answer 1

解：（1）∵|n|+=0，
又|n|＞0，≥0，
∴m-1=0，
∴m=1，
∴A（1，0），
∴OA=1；

（2）答：AE的长度不变．
证明：∵△OAB是等边三角形，
∴BO=BA，∠OBA=60°，
又∵△BCD是等边三角形，
∴BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA=∠CBD=60°，
∴∠OBA-∠OBD=∠CBD-∠OBD，
∴∠ABD=∠OBC，
在△ABD和△OBC中，
，
可得△ABD≌△OBC（SAS），
∴∠ADB=∠OCB，又∠AFD=∠BFC，
可得∠DAO=∠DBC=60°，
∵EO⊥OA，即∠AOE=90°，
∴∠AEO=30°，
可得AE=2OA=2，
即当C点在x轴负半轴上运动时，AE的长度不变；

（3）答：点I总在y轴上运动．
证明：连接IA，IP，过I点作IM⊥AE，IN⊥FE，M，N分别为垂足．
易得△EFA为等边三角形，
∴∠MEN=∠FEA=60°，
∴∠MIN=120°
又∵IA，IP分别是∠TAP与∠TPA的角平分线，
可得∠AIP=120°，IA=IP
∴∠MIA=∠NIP
∴△MIA≌△NIP
∴IM=IN
∴点I在∠MEN的平分线上，
∵根据对顶角相等，∠MEI=∠OEA=∠NEI=∠OEF=30°，则y轴是∠MEN的平分线所在的直线
∴当点P运动时，点I总在y轴上运动．
分析：（1）根据被开方数不为负数，可知m-1=0，由此可得出m=1，那么A的坐标应该是A（1，0），由此即可求出OA的长度；
（2）要看AE是否会改变，只需看∠DAO的度数是否会改变，由于BC=DB，BA=OB，∠OBC=∠ABD=60°-∠OBD，因此△BOC和△BAD就全等，那么可得出∠DAB=∠BOC=120°，即∠OAD=60°，因此AE的长是不会变化的，且AE=2OA=2，由此即可解决问题；
（3）由于F，A关于y轴对称，那么y轴应该是∠FEA和它的对顶角的平分线，那么要看I是否在y轴上，只需看看I到AE，EF的距离是否相等即可，可过I分别作这两条直线的垂线设为IM，IN，那么关键是证IM=IN，可通过构建全等三角形来证明，连接PI，AI．那么关键是证三角形AIM和PIN全等，已知的有一组直角，PI=AI，只需再得出一组对应角相等即可，由于三角形EAF是等边三角形，因此∠MEN=60°，∠MIN=120°，而PI，AI都是角平分线且平分的都是60°的角，因此∠PIA=120°，那么这两个120°角都减去∠AIN后可得出∠MIA=∠PIN，由此可得出两三角形全等，那么IM=IN，因此I总在y轴上运动．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定等知识点，根据全等三角形得出边和角相等是解题的关键．