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    （2013•松江区模拟）已知：点A、B都在半径为9的圆O上，P是射线OA上一点，以PB为半径的圆P与圆O相交的另一个交点为C，直线OB与圆P相交的另一个交点为D，cos∠AOB=
    23

    （1）求：公共弦BC的长度；
    （2）如图，当点D在线段OB的延长线上时，设AP=x，BD=y，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
    （3）如果直线PD与射线CB相交于点E，且△BDE与△BPE相似，求线段AP的长．
    分析：（1）先求出OP⊥BC，且BH=CH，再根据OB=9，cos∠AOB=
    2
    3
    ，求出OH，BH=3
    		5
    ，即可求出BC；
    （2）作PM⊥BD，垂足为点M．得BM=DM=
    1
    2
    y，根据cos∠AOB=
    OM
    OP
    =
    2
    3
    ，得出
    1
    2
    y+9
    x+9
    =
    2
    3
    ，通过计算得出y关于x的函数解析式为y=
    4
    3
    x-6，定义域为x＞
    9
    2
    ．
    （3）（i）当点P在OA的延长线上时，根据△BDE与△BPE相似，∠DBE=∠BPE，根据∠DBE=∠OBH，得出∠OPM=∠OBH，∠BPE=∠OPM，而∠BPM=∠DPM，则∠OPB=∠BPM=∠DPM，BM=BH，即BD=BC，再列出方程
    4
    3
    x-6=6
    		5
    ，解得x=
    9
    2
    		5
    +
    9
    2
    ，即可得出AP=
    9
    2
    		5
    +
    9
    2
    ；
    （ii）当点P在线段OA上时，作PN⊥BD，垂足为点N．根据△BDE与△BPE相似，得出∠BDE=∠PBE，根据∠BDP=∠DBP．得出∠PBE=∠DBP，PH=PN，BD=BC．，再根据BN=DN，ON=9-
    1
    2
    BD，得出cos∠AOB=
    9-
    1
    2
    DB
    9-AP
    =
    2
    3
    ，整理，得BD=
    4
    3
    AP+6，
    4
    3
    AP+6=6
    		5
    ，解得AP=
    9
    2
    		5
    -
    9
    2
    ．
    解答：解：（1）∵圆O与圆P相交于点B、C，
    ∴OP⊥BC，垂足为点H，且BH=CH，
    ∵OB=9，cos∠AOB=
    2
    3
    =
    OH
    OB
    ，
    ∴OH=6，
    ∴BH=3
    		5
    ，
    ∴BC=6
    		5
    ；

    （2）如图1，作PM⊥BD，垂足为点M．
    由垂径定理，得BM=DM=
    1
    2
    y，
    ∴cos∠AOB=
    OM
    OP
    =
    2
    3
    ，即
    1
    2
    y+9
    x+9
    =
    2
    3
    ，
    ∴y关于x的函数解析式为y=
    4
    3
    x-6，
    定义域为x＞
    9
    2
    ．

    （3）（i）如图2，当点P在OA的延长线上时，
    则△DBE∽△BPE，
    ∴∠DBE=∠BPE，
    ∵∠DBE=∠OBH，∠OPM=∠OBH，
    ∴∠BPE=∠OPM，
    而∠BPM=∠DPM，
    ∴∠OPB=∠BPM=∠DPM，
    ∴BM=BH，即BD=BC，
    ∴
    4
    3
    x-6=6
    		5
    ，
    解得x=
    9
    2
    		5
    +
    9
    2
    ，即AP=
    9
    2
    		5
    +
    9
    2
    ；
    （ii）如图3，当点P在线段OA上时，
    作PN⊥BD，垂足为点N．
    则△BDE∽△PBE，
    ∴∠BDE=∠PBE，
    ∵PD=PB，
    ∴∠BDP=∠DBP．
    ∴∠PBE=∠DBP．
    ∴PH=PN．
    ∴BD=BC． 
    ∵BN=DN，∴ON=9-
    1
    2
    BD，
    ∴cos∠AOB=
    9-
    1
    2
    DB
    9-AP
    =
    2
    3
    ，
    整理，得BD=
    4
    3
    AP+6，
    ∴
    4
    3
    AP+6=6
    		5
    ，
    解得AP=
    9
    2
    		5
    -
    9
    2
    ，
    综上所述，线段AP的长为
    9
    2
    		5
    +
    9
    2
    或
    9
    2
    		5
    -
    9
    2
    ．
    点评：此题考查了圆的综合，用到的知识点是勾股定理、垂经定理、圆的有关性质等，关键是灵活运用有关性质，根据已知条件列出方程．
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    x-3
    x
    -
    2x
    x-3
    =1    时，可以设y=
    x-3
    x
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    AD
    =
    a
    ，
    EF
    =
    b
    ，那么
    BC
    =
    2
    b
    -
    a
    2
    b
    -
    a
    ．（用
    a
    、
    b
    表示）．

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