【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线y=-x+2分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.点P是x轴上一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点P的横坐标为m.
(1)点A的坐标为 .
(2)求这条抛物线所对应的函数表达式.
(3)点P在线段OA上时,若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),称E、F、P三点为“共谐点”.直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值.
【答案】(1)(4,0)(2)y=﹣x2+x+2(3),(4)﹣1或﹣或
【解析】
(1)令y=0,即可求出交点坐标,
(2)将A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c中,即可求出函数解析式,(3)根据分类讨论,得得,即可求解,(4)根据当F为线段PE的中点时,当P为线段FE的中点时,当E为线段FP的中点时分类讨论解题即可.
(1)在y=-x+2中,令y=0,则x=4,
∴A(4,0);
故答案为:(4,0);
(2)∵在y=-x+2中,令x=0,则y=2,
∴B(0,2),
把A(4,0),B(0,2)代入y=﹣x2+bx+c,得b=,
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y=﹣x2+x+2;
(3)∵P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(m,﹣m+2),
∵且∠BFE=∠AEP,
∴∠BEP=∠APF=90°或∠EBF=∠APF=90°,
则有BE⊥PE,
∴E点的纵坐标为2,
∴解得m=0(舍去)或m=,
如图1,过点E作EC⊥y轴于点C,
则∠EBC+∠BEC=90°,EC=m,BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m,
∵∠EBF=90°,
∴∠EBC+∠ABO=90°,
∴∠ABO=∠BEC,
∴Rt△ECB∽Rt△BOA,
∴,
∴,解得m=0(舍去)或m=,
解得,m=,
综上所述,以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,m的值=,
(4)由(1)知,P(m,0),E(m,﹣m2+m+2),F(m,﹣m+2),
∵E、F、P三点为“共谐点”,
∴有F为线段PE的中点、P为线段FE的中点或E为线段PF的中点,
当F为线段PE的中点时,则有2(﹣m+2)=﹣m2+m+2,解得m=4(三点重合,舍去)或m=;
当P为线段FE的中点时,则有﹣m+2+(﹣m2+m+2)=0,解得m=4(舍去)或m=﹣1;
当E为线段FP的中点时,则有﹣m+2=2(﹣m2+m+2),解得m=4(舍去)或m=﹣;
综上可知当E、F、P三点成为“共谐点”时m的值为﹣1或﹣或.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】将2019个边长为1的正方形按如图所示的方式排列,点A,A1,A2,A3,……A2019和点M,M1,M2……,M2018是正方形的顶点,连接A1M,A2M1,A3M2,……A2018分别交正方形的边A1M,A2M1,A3M2,……A2018M2017于点N1,N2,N3……N2018,四边形M1N1A1A2的面积是,四边形M2N2A2A3的面积是,…,则为( )
A. B. C. D.
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【题目】数学课上学习了圆周角的概念和性质:“顶点在圆上,两边与圆相交”,“同弧所对的圆周角相等”,小明在课后继续对圆外角和圆内角进行了探究.
下面是他的探究过程,请补充完整:
定义概念:顶点在圆外,两边与圆相交的角叫做圆外角,顶点在圆内,两边与圆相交的角叫做圆内角.如图1,∠M为所对的一个圆外角.
(1)请在图2中画出所对的一个圆内角;
提出猜想
(2)通过多次画图、测量,获得了两个猜想:一条弧所对的圆外角______这条弧所对的圆周角;一条弧所对的圆内角______这条弧所对的圆周角;(填“大于”、“等于”或“小于”)
推理证明:
(3)利用图1或图2,在以上两个猜想中任选一个进行证明;
问题解决
经过证明后,上述两个猜想都是正确的,继续探究发现,还可以解决下面的问题.
(4)如图3,F,H是∠CDE的边DC上两点,在边DE上找一点P使得∠FPH最大.请简述如何确定点P的位置.(写出思路即可,不要求写出作法和画图)
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【题目】甲车从A地驶往B地,同时乙车从B地驶往A地,两车相向而行,匀速行驶,甲车距B地的距离y(km)与行驶时间x(h)之间的函数关系如图所示,乙车的速度是60km/h.
(1)求甲车的速度;
(2)当甲乙两车相遇后,乙车速度变为a(km/h),并保持匀速行驶,甲车速度保持不变,结果乙车比甲车晚38分钟到达终点,求a的值.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,弦PB与CD交于点F,且FC=FB.
(1)求证:PD∥CB;
(2)若AB=26,EB=8,求CD的长度.
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【题目】如图,一垂直于地面的灯柱AB被一钢筋CD固定,CD与地面成45°夹角(∠CDB=45°),在C点上方2米处加固另一条钢线ED,ED与地面成53°夹角(∠EDB=53°),那么钢线ED的长度约为多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin53°≈0.80,cos53°≈0.60,tan53°≈1.33)
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【题目】作出反比例函数y=-的图象,并结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.
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【题目】如图是置于水平地面上的一个球形储油罐,小敏想测量它的半径、在阳光下,他测得球的影子的最远点A到球罐与地面接触点B的距离是10米(如示意图,AB=10米);同一时刻,他又测得竖直立在地面上长为1米的竹竿的影子长为2米,那么,球的半径是________米.
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【题目】如图,已知△ABC中,点D在边BC上,∠DAB=∠B,点E在边AC上,满足AE·CD=AD·CE.
(1)求证:DE∥AB;
(2)如果点F是DE延长线上一点,且BD是DF和AB的比例中项,连接AF.求证:DF=AF.
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